Animações de Convolução

• A convolução de duas funções $f,g:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ é uma função definida por $$(f*g)(t)=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)d\tau,\quad \mbox{para }t\ge 0. $$ Considere $$f(t)=g(t)=\begin{cases}1,&\text{ se } 0< t< 1,\\0,&\text{caso contrário} \end{cases}$$ $$(f*g)(t)=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)d\tau =\begin{cases} \int_0^td\tau=t,&\mbox{ se } 0< t< 1,\\ \int_{t-1}^1d\tau=2-t,&\mbox{ se } 1\le t<2,\\ 0,&\mbox{ se } t\ge 2. \end{cases} $$

  
• A convolução de duas funções $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ seccionalmente contínuas, limitadas e tais que $\int_{-\infty}^\infty |f(x)|dx<\infty$ e $\int_{-\infty}^\infty |g(x)|dx<\infty$, é definida por $$ (f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)dy,\quad\mbox{para }x\in\mathbb{R}. $$ Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\chi_{[0,1]}(x)=\begin{cases}1,\;\mbox{se }0\le x\le 1,\\0,\;\mbox{caso contrário.}\end{cases}$ \begin{eqnarray*} (f*f)(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \chi_{[0,1]}(y)\chi_{[0,1]}(x-y)dy=\int_0^1 \chi_{[0,1]}(x-y)dy\\&=&\int_0^1 \chi_{[-1,0]}(y-x)dy=\int_0^1 \chi_{[-1+x,x]}(y)dy = \left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{se }x< 0, \\ x, & \mbox{se }0\le x< 1, \\ 2-x, & \mbox{se }1\le x< 2, \\ 0, & \mbox{se }x\ge 2. \end{array} \right. \end{eqnarray*}