Projeção Ortográfica 2 $\DeclareMathOperator{\sen}{sen}$

Projeção Ortográfica 2

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O vetor $U_1$ é paralelo ao plano $\mathrm{xy}$ e é perpendicular ao vetor $(\cos\theta,\sen\theta,0)$, ou seja, $$U_1=(-\sen\theta,\cos\theta,0).$$
Os vetores $U_2$ e $U_3$ estão no plano definido por $\vec{k}$ e $(\cos\theta,\sen\theta,0)$. \begin{eqnarray*} U_2&=&-\cos\phi(\cos\theta,\sen\theta,0)+\sen\phi\vec{k} =(-\cos\phi\cos\theta,-\cos\phi\sen\theta,\sen\phi)\\ U_3&=&\cos\phi\vec{k}+\sen\phi(\cos\theta,\sen\theta,0) =(\sen\phi\cos\theta,\sen\phi\sen\theta,\cos\phi) \end{eqnarray*} Assim, a relação entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas $$\mathcal{S}'=\{O,U_1,U_2,U_3\}\quad\mbox{e}\quad \mathcal{S}=\{O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$$ é dada por $$ \left[\begin{array}{c} x'\\y'\\z' \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} -\sen\theta&\cos\theta&0\\ -\cos\phi\cos\theta&-\cos\phi\sen\theta&\sen\phi\\ \sen\phi\cos\theta&\sen\phi\sen\theta&\cos\phi\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right] $$ e a projeção é dada por $$ \left[\begin{array}{c} x'\\y' \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} -\sen\theta&\cos\theta&0\\ -\cos\phi\cos\theta&-\cos\phi\sen\theta&\sen\phi \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right]. $$