A soma de duas matrizes de mesmo tamanho $A=(a_{ij})_{m\times n}$ e $B=(b_{ij})_{m\times n}$ é definida como sendo a matriz $m\times n$ $$C=A+B$$ obtida somando-se os elementos correspondentes de $A$ e $B$, ou seja, $$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,,$$ para $i=1,\ldots,m$ e $j=1,\ldots,n$. Escrevemos também $[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

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A multiplicação de uma matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ por um escalar (número) $\alpha$ é definida pela matriz $m\times n$ $$B=\alpha A$$ obtida multiplicando-se cada elemento da matriz $A$ pelo escalar $\alpha$, ou seja, $$b_{ij}=\alpha\;a_{ij}\,,$$ para $i=1,\ldots,m$ e $j=1,\ldots,n$. Escrevemos também $[\alpha A]_{ij}=\alpha\;a_{ij}$. Dizemos que a matriz $B$ é um múltiplo escalar da matriz $A$.

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O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, $A=(a_{ij})_{m\times p}$ e $B=(b_{ij})_{p\times n}$ é definido pela matriz $m\times n$ $$C=AB$$ obtida da seguinte forma: \begin{eqnarray}\label{prmatr1} c_{ij}&=&a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+ a_{ip}b_{pj}, \end{eqnarray} para $i=1,\ldots,m$ e $j=1,\ldots,n$. Escrevemos também $[AB]_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+ a_{ip}b_{pj}$.

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A transposta de uma matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ é definida pela matriz $n\times m$ $$B=A^t$$ obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, $$b_{ij}=a_{ji}\,,$$ para $i=1,\ldots,n$ e $j=1,\ldots,m$. Escrevemos também $[A^t]_{ij}=a_{ji}$.

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Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes com tamanhos apropriados, $\alpha$ e $\beta$ escalares. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais:

1. (comutatividade) $A+B=B+A$;
2. (associatividade) $A+(B+C)=(A+B)+C$;
3. (elemento neutro) A matriz $\bar{0}$, $m\times n$, definida por $[\bar{0}]_{ij}=0$, para $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$ é tal que $$A+\bar{0}=A,$$ para toda matriz $A$, $m\times n$. A matriz $\bar{0}$ é chamada matriz nula $m\times n$.
4. (elemento simétrico) Para cada matriz $A$, existe uma única matriz $-A$, definida por $[-A]_{ij}=-a_{ij}$ tal que $$A+(-A)=\bar{0}.$$
5. (associatividade) $\alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A$;
6. (distributividade) $(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A$;
7. (distributividade) $\alpha (A+B)=\alpha A + \alpha B$;
8. (associatividade) $A(BC)=(AB)C$;
9. (elemento neutro) Para cada inteiro positivo $p$ a matriz, $p\times p$, $$I_p= \left[\begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&&0\\ 0&1&\ldots&&0\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\ldots&&1 \end{array}\right],$$ chamada matriz identidade é tal que $$\;A\,I_n=I_mA=A,\quad \mbox{para toda matriz } A=(a_{ij})_{m\times n}.$$
10. (distributividade) $A(B+C)=AB+AC$ e $(B+C)A=BA+CA$;
11. $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$;
12. $(A^t)^t=A$;
13. $(A+B)^t=A^t+B^t$;
14. $(\alpha A)^t=\alpha\,A^t$;
15. $(AB)^t=B^tA^t$;

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