Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da forma $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{1n}x_n &=&b_1\\ a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{2n}x_n &=& b_2\\ \vdots && & & & & && \vdots&=& \vdots\\ a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& b_m \end{array} \right. $$ em que $a_{ij}$ e $b_k$ são constantes reais, para $i,k=1,\ldots,m$ e $j=1,\ldots,n$.

Usando o produto de matrizes que definimos na seção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial

$A\,X=B,$

em que $$ A= \left[\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&&a_{2n}\\ \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}\right], \quad X= \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right] \quad\mbox{e} \quad B= \left[\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right]\,. $$

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Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações:

1. Trocar a posição de duas linhas da matriz;
2. Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
3. Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha.

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Se dois sistemas lineares $AX=B$ e $CX=D$, são tais que a matriz aumentada $[C\;|\;D]$ é obtida de $[A\;|\;B]$ aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.

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Uma matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:

1. Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
2. O pivô (1^o elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual à $1$;
3. O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.
4. Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada.

O método de resolução de sistemas, que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz aumentada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, é conhecido como método de Gauss-Jordan.

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Um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma $[\,0\,\ldots\,0\,|\,b_m'\,]$, com $b_m'\ne 0$.

Se o sistema linear tiver solução e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada possuir colunas sem pivôs, as variáveis que não estão associadas a pivôs podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários. As variáveis associadas aos pivôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres.

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Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível. Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em, através da aplicação de operações elementares à matriz aumentada do sistema, se chegar a uma matriz que é somente escalonada (isto é, uma matriz que satisfaz as condições (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d) da Definição de Matriz Escalonada Reduzida). Este método é conhecido como método de Gauss.

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Uma matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ é equivalente por linhas a uma matriz $B=(b_{ij})_{m\times n}$, se $B$ pode ser obtida de $A$ aplicando-se uma sequência de operações elementares sobre as suas linhas.

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Toda matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida $$R~=~(r_{ij})_{m\times n}.$$

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Seja $R$ uma matriz $n\times n$, na forma escalonada reduzida. Se $R\ne I_n$, então $R$ tem uma linha nula.

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Um sistema linear da forma \begin{equation}\label{sisthomo} \left\{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{1n}x_n &=&0\\ a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{2n}x_n &=& 0\\ \vdots && & & && && \vdots&=& \vdots\\ a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{array} \right. \end{equation} é chamado sistema homogêneo. O sistema acima pode ser escrito como

$A\,X=\bar{0}.$

Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução $$X= \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right], $$ chamada de solução trivial. Portanto, todo sistema homogêneo tem solução. Além disso ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções.

Para resolver um sistema linear homogêneo $A\,X=\bar{0}$, basta escalonarmos a matriz $A$ do sistema, já que sob a ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada. Mas, é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo.

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Se a matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$, é tal que $m\lt n$, então o sistema homogêneo $AX=\bar{0}$ tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções.

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Seja $A$ uma matriz $n\times n$. O sistema linear homogêneo $AX=\bar{0}$ satisfaz as seguintes propriedades:

1. Se $X$ e $Y$ são soluções do sistema homogêneo, $AX=\bar{0}$, então $X+Y$ também o é.
2. Se $X$ é solução do sistema homogêneo, $AX=\bar{0}$, então $\alpha X$ também o é.

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