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1. Definimos o produto escalar ou interno de dois vetores $X~=~(x_1,\ldots,x_n)\;\in \mathbb{R}^n$ e $Y~=~(y_1,\ldots,y_n)\;\in \mathbb{R}^n$ por $$X\cdot Y=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n=\sum_{i=1}^nx_iy_i\,.$$
2. Definimos a \textbf{norma} de um vetor $X=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ por $$ ||X||= \sqrt{X\cdot X}=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\,.$$

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Se $X,Y$ e $Z$ são vetores de $\mathbb{R}^n$ e $\alpha$ é um escalar, então

1. $X\cdot Y=Y\cdot X$ (comutatividade);
2. $X\cdot(Y+Z)=X\cdot Y+X\cdot Z$ (distributividade em relação à soma);
3. $(\alpha X)\cdot Y=\alpha (X\cdot Y)=X\cdot (\alpha Y)$;
4. $X\cdot X= ||X||^2\ge 0$ e $||X||=0$ se, e somente se, $X=\bar{0}$;
5. $||\alpha X||=|\alpha|\, ||X||$;
6. $|X\cdot Y|\le ||X|| ||Y||$ (desigualdade de Cauchy-Schwarz); \index{Desigualdade de Cauchy-Schwarz}
7. $||X+Y||\le ||X||+||Y||$ (desigualdade triangular). \index{Desigualdade triangular}

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Se $V_1,\ldots,V_k$ são vetores \textbf{não nulos} de $\mathbb{R}^n$ \textbf{ortogonais}, isto é, $V_i\cdot V_j=0$, para $i\neq j$, então

1. O conjunto $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é LI.
2. Se $\displaystyle V=\sum_{i=1}^k \alpha_iV_i$, então $ \displaystyle\alpha_i=\frac{V\cdot V_i}{||V_i||^2}. $

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Definimos a \textbf{projeção ortogonal} de um vetor $V$ sobre um vetor não nulo $W$, por $$\displaystyle\mathrm{proj}_W V= \left(\frac{V\cdot W}{||W||^2}\right)W.$$

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Seja $W\in\mathbb{R}^n$ um vetor não nulo. Então, $V -\mathrm{proj}_W V$ é ortogonal a $W$, para qualquer vetor $V\in\mathbb{R}^n$.

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Sejam $W_1,W_2,\ldots, W_k$ vetores não nulos de $\mathbb{R}^n$, ortogonais entre si, então para qualquer vetor $V$, $$V-\mathrm{proj}_{W_1} V-\ldots -\mathrm{proj}_{W_k} V$$ é ortogonal a $W_i$, para $i=1,\ldots,k$.

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Seja $\{V_1,\ldots,V_k\}$ uma base de um subespaço de $\mathbb{R}^n$.

1. Dizemos que $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é uma base ortogonal, se $V_i\cdot V_j=0$, para $i\neq j$, ou seja, se quaisquer dois vetores da base são ortogonais;
2. Dizemos que $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é uma base ortonormal, se além de ser uma base ortogonal, $||V_i||=1$, ou seja, o vetor $V_i$ é \textbf{unitário}, para $i=1,\ldots m$.

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Seja $\{V_1,\ldots,V_k\}$ uma base de um subespaço $\mathbb{W}$ de $\mathbb{R}^n$. Então, \begin{eqnarray*} W_1&=&V_1\,,\\ W_2&=&V_2 - \mathrm{proj}_{W_1}V_2\,,\\ W_3&=&V_3 - \mathrm{proj}_{W_1}V_3 - \mathrm{proj}_{W_2}V_3\,,\\ &\ldots& \\ W_k&=&V_k - \mathrm{proj}_{W_1}V_k - \mathrm{proj}_{W_2}V_k\ldots -\mathrm{proj}_{W_{k-1}}V_k.\nonumber \end{eqnarray*} é uma base ortogonal de $\mathbb{W}$ e $$U_1=\left(\frac{1}{||W_1||}\right)W_1, \quad U_2=\left(\frac{1}{||W_2||}\right)W_2,\quad \ldots, \quad U_k=\left(\frac{1}{||W_k||}\right)W_k\,.$$ é uma base de ortonormal de $\mathbb{W}$.

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