$\DeclareMathOperator{\dist}{dist}$ $\DeclareMathOperator{\proj}{proj}$

Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear: Resumos

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matemática
Instituto de Ciências Exatas
Universidade Federal de Minas Gerais

20 de setembro de 2018

3.2 Produto Escalar e Projeção Ortogonal
3.2.1 Norma e Produto Escalar

Segue do Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor pode ser calculada usando as suas componentes, por

$||V||=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$,

no caso em que $V=(v_1,v_2)$ é um vetor no plano, e por

$||V||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$,

no caso em que $V=(v_1,v_2,v_3)$ é um vetor no espaço.

A distância entre dois pontos $P=(x_1,y_1,z_1)$ e $Q=(x_2,y_2,z_2)$ é igual à norma do vetor $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$. Como $$\stackrel{\longrightarrow}{PQ} =\stackrel{\longrightarrow}{OQ}-\stackrel{\longrightarrow}{OP}= (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1),$$ então a distância de $P$ a $Q$ é dada por

$\dist(P,Q)=||\stackrel{\longrightarrow}{PQ}||= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

Analogamente, a \textbf{distância entre dois pontos $P=(x_1,y_1)$ e $Q=(x_2,y_2)$} no plano é igual à norma do vetor $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$, que é dada por

$\dist(P,Q)=||\stackrel{\longrightarrow}{PQ}||= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Se $V=(v_1,v_2,v_3)$ é um vetor e $\alpha$ é um escalar, então

$||\alpha V||=|\alpha|\,||V||$.

Dado um vetor $V$ não nulo, o vetor

$\displaystyle U=\left(\frac{1}{||V||}\right)V.$

é um vetor unitário na direção de $V$, pois pela equação anterior, temos que $$\displaystyle||U||= \left|\frac{1}{||V||}\right| ||V||=1.$$

O ângulo entre dois vetores não nulos, $V$ e $W$, é definido pelo ângulo $\theta$ determinado por $V$ e $W$ que satisfaz $0\le\theta\le\pi$, quando eles estão representados com a mesma origem.

Quando o ângulo $\theta$ entre dois vetores $V$ e $W$ é reto ($\theta=90^\circ$), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores $V$ e $W$ são ortogonais ou perpendiculares entre si.

O produto escalar ou interno de dois vetores $V$ e $W$ é definido por $$V\cdot W=\left\{\begin{array}{lcl} 0,&&\mbox{se $V$ ou $W$ é o vetor nulo,}\\ ||V||\, ||W|| \cos\theta,&&\mbox{caso contrário,} \end{array}\right.$$ em que $\theta$ é o ângulo entre eles.

O produto escalar ou interno, $V\cdot W$, entre dois vetores é dado por $$V\cdot W=v_1w_1+v_2w_2,$$ se $V=(v_1,v_2)$ e $W=(w_1,w_2)$ são vetores no plano e por $$V\cdot W=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3,$$ se $V=(v_1,v_2,v_3)$ e $W~=~(w_1,w_2,w_3)$ são vetores no espaço.

Sejam $U, V$ e $W$ vetores e $\alpha$ um escalar. São válidas as seguintes propriedades:

  1. (comutatividade) $U\cdot V=V\cdot U$ ;
  2. (distributividade) $U\cdot(V+W)=U\cdot V+U\cdot W$;
  3. (associatividade) $\alpha(U\cdot V)=(\alpha U)\cdot V=U\cdot(\alpha V)$;
  4. $V\cdot V=||V||^2\ge 0$, para todo $V$ e $V\cdot V=0$ se, e somente se, $V=\bar{0}$.

3.2.2 Projeção Ortogonal

Seja $W$ um vetor não nulo. Então, a projeção ortogonal de um vetor $V$ em $W$ é dada por \[\proj_W V = \left(\frac{V\cdot W}{||W||^2}\right)W\,.\]

Projeção