Com duas retas no espaço pode ocorrer um dos seguintes casos:

1. As retas se interceptam em um ponto, ou seja, são concorrentes;
2. As retas são paralelas (ou coincidentes);
3. As retas são reversas, isto é, não são paralelas mas também não se interceptam.

Se as retas se interceptam, então elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos.

Se as retas $r_1$ e $r_2$ são reversas, então por um ponto $P$ de $r_1$ passa um reta $r_2'$ que é paralela a $r_2$. O ângulo entre $r_1$ e $r_2$ é definido como sendo o ângulo entre $r_1$ e $r_2'$.

Se as retas são paralelas o ângulo entre elas é igual à zero.

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Sejam duas retas $$r_1\;:\;\left\{\begin{array}{lll} x&=&x_1+t\,a_1\\ y&=&y_1+t\,b_1\\ z&=&z_1+t\,c_1\end{array}\right.\quad r_2\;:\;\left\{\begin{array}{lll} x&=&x_2+t\,a_2\\ y&=&y_2+t\,b_2\\ z&=&z_2+t\,c_2\end{array}\right.\,\mbox{para todo $t\in\mathbb{R}$.} $$ O cosseno do ângulo entre $r_1$ e $r_2$ é $$\cos(r_1,r_2)=|\cos\theta|=\frac{|V_1\cdot V_2|}{||V_1||\,||V_2||}\,,$$ em que $V_1=(a_1,b_1,c_1)$ e $V_2=(a_2,b_2,c_2)$.

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Sejam $\pi_1$ e $\pi_2$ dois planos com vetores normais $N_1=(a_1,b_1,c_1)$ e $N_2=(a_2,b_2,c_2)$, respectivamente. O ângulo entre $\pi_1$ e $\pi_2$ é definido como o ângulo entre duas retas perpendiculares a eles. Como toda reta perpendicular a $\pi_1$ tem $N_1$ como vetor diretor e toda reta perpendicular a $\pi_2$ tem $N_2$ como vetor diretor, então o cosseno do ângulo entre eles é dado por $$\cos(\pi_1,\pi_2)=|\cos\theta|\,,$$ em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores normais $N_1$ e $N_2$ de $\pi_1$ e $\pi_2$, respectivamente.

Portanto, o cosseno do ângulo entre $\pi_1$ e $\pi_2$ é $$\cos(\pi_1,\pi_2)= \frac{|N_1\cdot N_2|}{||N_1||\,||N_2||}.$$

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Sejam $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ um ponto qualquer e $\pi\;:\; ax+by+cz+d=0$ um plano. A distância de $P_0$ a $\pi$ é definida como sendo a distância de $P_0$ até o ponto de $\pi$ mais próximo de $P_0$.

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Sejam $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ um ponto qualquer e $\pi:\; ax+by+cz+d=0$ um plano. A distância de $P_0$ a $\pi$ é dada por $$\mathrm{dist}(P_0,\pi)=||\mathrm{proj}_N\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_0}||= \frac{|\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_0}\cdot N|}{||N||}\,,$$ em que $N=(a,b,c)$ e $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ é um ponto de $\pi$ (isto é, um ponto que satisfaz a equação de $\pi$).

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Sejam $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ um ponto qualquer e $r$ uma reta. A distância de $P_0$ a $r$ é definida como a distância de $P_0$ ao ponto de $r$ mais próximo de $P_0$.

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Sejam $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ um ponto qualquer e $$r\,:\; \left\{\begin{array}{lll} x&=&x_1+t\,a\\ y&=&y_1+t\,b\\ z&=&z_1+t\,c\end{array}\right.\,\mbox{para todo $t\in\mathbb{R}$} $$ uma reta. A distância de $P_0$ a $r$ é dada por $$ \mathrm{dist}(P_0,r)=\frac{||\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_0}\times V||}{||V||}\,. $$ em que $V=(a,b,c)$ é um vetor diretor e $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ é um ponto da reta $r$.

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Sejam dois planos $\pi_1$ e $\pi_2$ quaisquer. A distância entre $\pi_1$ e $\pi_2$ é definida como a menor distância entre dois pontos, um de $\pi_1$ e outro de $\pi_2$.

Se os seus vetores normais não são paralelos, então os planos são concorrentes e neste caso a distância entre eles é igual à zero. Se os seus vetores normais são paralelos, então os planos são paralelos (ou coincidentes) e a distância entre $\pi_1$ e $\pi_2$ é igual à distância entre um ponto de um deles, por exemplo $P_2$ de $\pi_2$, e o ponto de $\pi_1$, mais próximo de $P_2$. Mas, esta distância é igual à distância de $P_2$ a $\pi_1$.

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Sejam $r_1$ e $r_2$ duas retas quaisquer. A distância entre $r_1$ e $r_2$ é definida como a menor distância entre dois pontos, um de $r_1$ e outro de $r_2$.

Para calcular a distância entre duas retas, vamos dividir em dois casos:

1. Se os vetores diretores são paralelos, então as retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas (ou coincidentes). Neste caso, a distância entre elas é igual à distância entre um ponto de $r_2$ e a reta $r_1$, ou vice-versa, entre um ponto de $r_1$ e a reta $r_2$.
2. Se os vetores diretores não são paralelos, então elas são reversas ou concorrentes. Os dois casos podem ser resolvidos da mesma forma. Estas retas definem dois planos paralelos (que podem ser coincidentes, no caso em que elas são concorrentes). Um é o plano que contém $r_1$ e é paralelo a $r_2$, vamos chamá-lo de $\pi_1$. O outro, contém $r_2$ e é paralelo a $r_1$, $\pi_2$. O vetor $N=V_1\times V_2$, é normal (ou perpendicular) a ambos os planos, em que $V_1$ e $V_2$ são os vetores diretores de $r_1$ e $r_2$ respectivamente. Assim, a distância entre as retas é igual à distância entre estes dois planos.

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