Para cada matriz $1\times 1$, $A~=~[a]$, definimos o determinante de $A$ por $\det(A)=a$.

Para cada matriz $A$, $2 \times 2$, definimos o determinante de $A$, por $$ \det(A)=\det\left[ \begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right]= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. $$

Dada uma matriz $A=(a_{ij})_{n\times n}$, o menor do elemento $a_{ij}$, denotado por $\tilde{A}_{ij}$, é a submatriz de $A$, $(n-1)\times (n-1)$, obtida eliminando-se a $i$-ésima linha e a $j$-ésima coluna de $A$.

O cofator do elemento $a_{ij}$, denotado por $\tilde{a}_{ij}$, é definido por $$ \tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\det(\tilde{A}_{ij}), $$ ou seja, o cofator $\tilde{a}_{ij}$, do elemento $a_{ij}$ é igual a mais ou menos o determinante do menor $\tilde{A}_{ij}$, sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição: $$\left[ \begin{array}{ccccc} + & - & + & - & \ldots\\ - & + & - & + & \ldots\\ + & - & + & - & \ldots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots \end{array} \right]$$

Seja $A=(a_{ij})_{n\times n}$. O determinante de $A$ é definido por \begin{equation}\label{descofat0} \det(A)=a_{11}\tilde{a}_{11}+a_{12}\tilde{a}_{12} + \ldots +a_{1n}\tilde{a}_{1n}=\sum_{j=1}^n a_{1j}\tilde{a}_{1j}, \end{equation} em que $\tilde{a}_{1j}=(-1)^{1+j}\det(\tilde{A}_{1j})$ é o cofator do elemento $a_{1j}$. A expressão acima é chamada desenvolvimento ou expansão em cofatores do determinante de $A$ em termos da 1^a linha.

Seja $A=(a_{ij})_{n\times n}$ escrita em termos das suas linhas, denotadas por $A_i$, ou seja, $A_i=[\,a_{i1}\,a_{i2}\ldots a_{in}\,]$. Se para algum $k$, a linha $A_k=\alpha X+\beta Y$, em que $X=[\,x_1\ldots x_n\,]$, $Y=[\,y_1\ldots y_n\,]$ e $\alpha$ e $\beta$ são escalares, então: $$\det \left[\begin{array}{c} A_1\\\vdots\\A_{k-1}\\\alpha X+\beta Y\\A_{k+1}\\ \vdots\\A_n\end{array}\right]=\alpha\det\left[\begin{array}{c} A_1\\\vdots\\A_{k-1}\\X\\A_{k+1}\\ \vdots\\A_n\end{array}\right]+\beta\det\left[\begin{array}{c} A_1\\\vdots\\A_{k-1}\\Y\\A_{k+1}\\ \vdots\\A_n\end{array}\right].$$ Aqui, $A_k=\alpha X + \beta Y=[\,\alpha x_1+\beta y_1\,\ldots\,\alpha x_n+\beta y_n\,]$.

---

Seja $A$ uma matriz $n\times n$. O determinante de $A$ pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna. \begin{eqnarray}\label{descofat} \det(A)&=&a_{i1}\tilde{a}_{i1}+a_{i2}\tilde{a}_{i2} + \ldots +a_{in}\tilde{a}_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}\tilde{a}_{ij},\quad\mbox{para $i=1,\ldots,n$,}\\ &=&a_{1j}\tilde{a}_{1j}+a_{2j}\tilde{a}_{2j} + \ldots +a_{nj}\tilde{a}_{nj}=\sum_{i=1}^na_{ij}\tilde{a}_{ij},\quad\mbox{para $j=1,\ldots,n$,}\label{descofat2} \end{eqnarray} em que $\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\det(\tilde{A}_{ij})$ é o cofator do elemento $a_{ij}$. A primeira expressão é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de $A$ em termos da $i$-ésima linha e a segunda expressão é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de $A$ em termos da $j$-ésima coluna.

---

Seja $A$ uma matriz $n\times n$. Se $A$ possui duas linhas iguais, então $\det(A)=0$.

---

Sejam $A$ e $B$ matrizes $n \times n$.

1. Se $B$ é obtida de $A$ multiplicando-se uma linha por um escalar $\alpha$, então $$\det(B)=\alpha\det(A)\,;$$
2. Se $B$ resulta de $A$ pela troca da posição de duas linhas $k\ne l$, então $$\det(B)=-\det(A)\,;$$
3. Se $B$ é obtida de $A$ substituindo-se a linha $l$ por ela somada a um múltiplo escalar de uma linha $k$, $k\ne l$, então $$\det(B)=\det(A)\,.$$

---

Sejam $A$ e $B$ matrizes $n \times n$.

1. O determinante do produto de $A$ por $B$ é igual ao produto dos seus determinantes, $$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,.$$
2. Os determinantes de $A$ e de sua transposta $A^t$ são iguais, $$\det(A)=\det(A^t)\,;$$

---

Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, segue-se que todas as propriedades que se referem a linhas são válidas com relação às colunas.

---

Seja $A$ uma matriz $n\times n$.

1. A matriz $A$ é invertível se, e somente se, $\det(A)\ne 0$.
2. O sistema homogêneo $AX=\bar{0}$ tem solução não trivial se, e somente se, $\det(A)=0$.

---

❮ 2.1 Matriz Inversa 3.1 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar ❯