$\DeclareMathOperator{\dist}{dist}$

Uma cônica no plano é definida como o conjunto dos pontos $P=(x,y)$ que satisfazem a equação $$ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, $$ em que $a,b,c,d,e$ e $f$ são números reais, com $a,b$ e $c$ não simultaneamente nulos.

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A elipse é o conjunto dos pontos $P$ no plano tais que a soma das distâncias de $P$ a dois pontos fixos $F_1$ e $F_2$ (focos) é constante, ou seja, se $\dist(F_1,F_2)=2c$, então a elipse é o conjunto dos pontos $P$ tais que $$ \dist(P,F_1)+\dist(P,F_2)=2a, $$ em que $a>c$.

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1. A equação da elipse cujos focos são $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$ é \begin{equation}\label{eelc} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \end{equation}
2. A equação da elipse cujos focos são $F_1=(0,-c)$ e $F_2=(0,c)$ é \begin{equation}\label{eelc2} \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1. \end{equation}

Em ambos os casos $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

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A hipérbole é o conjunto dos pontos $P$ no plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de $P$ a dois pontos fixos $F_1$ e $F_2$ (focos) é constante, ou seja, se $\dist(F_1,F_2)=2c$, então a hipérbole é o conjunto dos pontos $P$ tais que $$ |\dist(P,F_1)-\dist(P,F_2)|=2a, $$ em que $a

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1. A equação da hipérbole cujos focos são $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$ é \begin{equation}\label{ehic} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{equation} e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando $x\to\pm\infty$) são $$y=\pm \frac{b}{a}x,$$
2. A equação da hipérbole cujos focos são $F_1=(0,-c)$ e $F_2=(0,c)$ é \begin{equation}\label{ehic2} \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 \end{equation} e das assíntotas são $$x=\pm \frac{a}{b}y.$$

Em ambos os casos $b=\sqrt{c^2-a^2}$.

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Uma parábola é o conjunto dos pontos $P$ no plano equidistantes de uma reta $r$ (diretriz) e de um ponto $F$ (foco), não pertencente a $r$, ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos $P$ tais que $$ \dist(P,F)=\dist(P,r). $$

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1. A equação da parábola com foco $F=(p,0)$ e reta diretriz $r:\; x=-p$ é \begin{equation}\label{epac} y^2=4px, \end{equation}
2. A equação da parábola com foco $F=(0,p)$ e reta diretriz $r:\; y=-p$ é \begin{equation}\label{epac2} x^2=4py. \end{equation}

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Considere a equação \begin{equation}\label{eqgecon} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, \end{equation} com $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}$, sendo $a,b$ e $c$ não simultaneamente nulos. Então existe um sistema de coordenadas ortogonal $\mathrm{x'y'}$, em que a equação anterior tem a forma $$\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+d'x'+e'y'+f=0\,,$$ em que $\lambda_1,\lambda_2$ são os autovalores de $$A=\left[\begin{array}{cc} a&b/2\\ b/2&c \end{array}\right]\,.$$ Mais ainda, $$X=PX'\,,$$ em que $X'=\left[\begin{array}{c} x'\\y' \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right]$ e $P$ é uma matriz ortogonal ($P^{-1}=P^t$).

Mais ainda,

1. Se $\lambda_1\lambda_2<0$, então a cônica é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.
2. Se $\lambda_1\lambda_2>0$, então a cônica é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes.
3. Se $\lambda_1\lambda_2=0$, então a cônica é uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.

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