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Dizemos que uma matriz $A$, $n\times n$, é diagonalizável, se existem matrizes $P$ e $D$ tais que $A=PDP^{-1}$, ou equivalentemente, $D=P^{-1}AP$, em que $D$ é uma matriz diagonal.

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Seja $A$ uma matriz $n\times n$. Um número real $\lambda$ é chamado autovalor (real) de $A$, se existe um vetor não nulo, chamado de autovetor, $V=\left[\begin{array}{c} v_1\\\vdots \\v_n \end{array}\right]$ de $\mathbb{R}^n$, tal que \begin{equation}\label{eav} AV=\lambda V\,. \end{equation}

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Seja $A$ uma matriz $n\times n$.

1. Os autovalores (reais) de $A$ são as raízes reais do polinômio característico \begin{equation} p(t)=\det(A-t\, I_n). \end{equation}
2. Para cada autovalor $\lambda$, os autovetores associados a $\lambda$ são os vetores não nulos da solução do sistema \begin{equation}\label{sav2} (A - \lambda I_n)X=\bar{0}\,. \end{equation}

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Se $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ são inteiros, então as raízes racionais (se existirem) de $$ p(t)=(-1)^nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t+a_0 $$ são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero, $a_0$.

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Seja $A$ uma matriz $n \times n$ que tem $n$ autovetores LI, $V_1,\ldots,V_n$ associados a $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, respectivamente. Então, as matrizes $$P=\left[\begin{array}{rrrr} V_1&V_2&\ldots&V_n\end {array}\right] \quad \mbox{e}\quad D=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_1&0&\ldots&0\\ 0&\lambda_2&\ldots&0\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&\ldots&0&\lambda_n\end{array}\right].$$ são tais que $$A=PDP^{-1},$$ ou seja, $A$ é diagonalizável. Reciprocamente, se $A$ é diagonalizável, então ela possui $n$ autovetores linearmente independentes.

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Se uma matriz $A$ é diagonalizável e $A=PDP^{-1}$, então os autovalores de $A$ formam a diagonal de $D$ e $n$ autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de $P$.

Depois de obtermos para cada autovalor, autovetores LI, ao juntarmos todos os autovetores obtidos, eles continuarão sendo LI.

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