Sejam $A$ uma matriz $m\times n$ e $\mathbb{W}\subseteq\mathbb{R}^n$ o conjunto solução do sistema linear homogêneo $AX=\bar{0}$. Já vimos que o conjunto $\mathbb{W}$ satisfaz as seguintes propriedades:

1. Se $X$ e $Y$ pertencem a $\mathbb{W}$, então $X+Y$ também pertence a $\mathbb{W}$.
2. Se $X$ pertence a $\mathbb{W}$, então $\alpha X$ também pertence a $\mathbb{W}$ para todo escalar $\alpha$.

Um subconjunto não vazio de $\mathbb{R}^n$ que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima é chamado de subespaço de $\mathbb{R}^n$. Assim, o espaço solução do sistema homogêneo $AX=\bar{0}$ é um subespaço de $\mathbb{R}^n$. Vale também a recíproca, todo subespaço é o espaço solução de um sistema homogêneo.

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Seja $\mathbb{W}$ um subespaço de $\mathbb{R}^n$ (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogêneo $AX=\bar{0}$). Dizemos que os vetores $V_1,\ldots,V_k$ pertencentes a $\mathbb{W}$, geram $\mathbb{W}$ ou que $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é um \textbf{conjunto de geradores} de $\mathbb{W}$, se qualquer vetor de $\mathbb{W}$ é combinação linear de $V_1,\ldots,V_k$. Dizemos também que $\mathbb{W}$ é o subespaço gerado por $V_1,\ldots,V_k$.

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Seja $\mathbb{W}$ um subespaço de $\mathbb{R}^n$ (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogêneo $AX=\bar{0}$). Dizemos que um subconjunto $\{V_1,\ldots,V_k\}$ de $\mathbb{W}$ é uma base de $\mathbb{W}$, se

1. $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é um conjunto de geradores de $\mathbb{W}$ (ou seja, todo vetor de $\mathbb{W}$ é combinação linear de $V_1,\ldots,V_k$) e
2. $\{V_1,\ldots,V_k\}$ é LI.

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Seja $\mathbb{W}$ subespaço de $\mathbb{R}^n$ (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogêneo $AX=\bar{0}$). Seja $\{V_1,\ldots,V_m\}$ uma base de $\mathbb{W}$. Então, um conjunto com mais de $m$ vetores em $\mathbb{W}$ é linearmente dependente (LD).

Assim, se $\mathbb{W}\ne\{\bar{0}\}$ é um subespaço, então qualquer base de $\mathbb{W}$ tem o mesmo número de elementos e este é o maior número de vetores LI que podemos ter em $\mathbb{W}$. O número de elementos de qualquer uma das bases de $\mathbb{W}$ é chamado de dimensão de $\mathbb{W}$. Se $\mathbb{W}=\{\bar{0}\}$ dizemos que $\mathbb{W}$ tem dimensão igual à $0$.

Se a dimensão de um subespaço $\mathbb{W}$ é $m>0$, então basta conseguirmos $m$ vetores LI em $\mathbb{W}$, que teremos uma base.

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