Uma matriz quadrada $A=(a_{ij})_{n\times n}$ é invertível ou não singular, se existe uma matriz $B~=~(b_{ij})_{n\times n}$ tal que \begin{equation}\label{invmatr} A\;B=B\;A=I_n\,, \end{equation} em que $I_n$ é a matriz identidade. A matriz $B$ é chamada de inversa de $A$. Se $A$ não tem inversa, dizemos que $A$ é não invertível ou singular.

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Se uma matriz $A=(a_{ij})_{n\times n}$ possui inversa, então a inversa é única.

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1. Se $A=(a_{ij})_{n\times n}$ é invertível, então a sua inversa, $A^{-1}$, também o é e $$(A^{-1})^{-1}=A\,;$$
2. Se $A=(a_{ij})_{n\times n}$ e $B=(b_{ij})_{n\times n}$ são matrizes invertíveis, então $AB$ é invertível e $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,;$$
3. Se $A=(a_{ij})_{n\times n}$ é invertível, então a sua transposta, $A^t$, também é invertível e $$(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\,.$$

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Sejam $A$ e $B$ matrizes ${n\times n}$.

1. Se $BA=I_n$, então $AB=I_n$;
2. Se $AB=I_n$, então $BA=I_n$.

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Uma matriz $A$, $n\times n$, é invertível se, e somente se, $A$ é equivalente por linhas à matriz identidade $I_n$.

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Temos uma forma de descobrir se uma matriz $A$ tem inversa e também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Escalonamos a matriz $[A\;|\;I_n]$ e encontramos a sua forma escalonada reduzida $[R\;|\;S]$. Se $R=I_n$, então a matriz $A$ é invertível e a inversa $A^{-1}=S$. Caso contrário, a matriz $A$ não é invertível.

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Seja $A$ uma matriz $n\times n$.

1. O sistema associado $AX=B$ tem solução única se, e somente se, $A$ é invertível. Neste caso a solução é $X=A^{-1}B$;
2. O sistema homogêneo $A\,X=\bar{0}$ tem solução não trivial se, e somente se, $A$ é singular (não invertível).

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